Он родился в крестьянской семье в 1922 году в деревне Кристелиха Новгородской области. После окончания школы был призван в погранвойска. В июне 1941 Алексея Цыбина направили в военно-пограничное училище в город Орджоникидзе. После получения офицерского звания проходил службу в Азербайджане. Участвовал в обороне Кавказа. В пограничных войсках прослужил почти 30 лет. Награждён многочисленными медалями.
Имя Алексея Цыбина было хорошо известно в городе химиков. В канун 90-летия ветеран презентовал первую книгу «На границе». Затем написал и издал ещё шесть произведений. Последняя — «Пережитое» — вышла в свет в 2018 году. Ветеран принимал активное участие в патриотическом воспитании молодого поколения. Администрация и дума города выразили соболезнования родным и близким фронтовика.